苏教版八年级上册数学期末试卷及答案(2)
(2)∵y与x的函数关系式是：y=﹣2x+3，
∴该函数是降函数，
∵﹣2<4，
∴m>n.
【点评】此题考查利用待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，正确利用正比例函数的特点以及一次函数的增减性是本题的关键.
21.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于F.
(1)求证：△ACD≌△CBF;
(2)求证：AB垂直平分DF.
【考点】全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质.
【专题】计算题.
【分析】(1)根据∠ACB=90°，求证∠CAD=∠BCF，再利用BF∥AC，求证∠ACB=∠CBF=90°，然后利用ASA即可证明△ACD≌△CBF.
(2)先根据ASA判定△ACD≌△CBF得到BF=BD，再根据角度之间的数量关系求出∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线，从而利用等腰三角形三线合一的性质求证即可.
【解答】解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵CE⊥AD，
∴∠CAD=∠BCF，
∵BF∥AC，
∴∠FBA=∠CAB=45°
∴∠ACB=∠CBF=90°，
在△ACD与△CBF中，
∵ ，
∴△ACD≌△CBF;
(2)证明：∵∠BCE+∠ACE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BCE=∠CAE.
∵AC⊥BC，BF∥AC.
∴BF⊥BC.
∴∠ACD=∠CBF=90°，
在△ACD与△CBF中，
∵ ，
∴△ACD≌△CBF，
∴CD=BF.
∵CD=BD= BC，
∴BF=BD.
∴△BFD为等腰直角三角形.
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠ABC=45°.
∵∠FBD=90°，
∴∠ABF=45°.
∴∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线.
∴BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线，
即AB垂直平分DF.
【点评】本题主要考查了三角形全等的判定和角平分线的定义以及线段的垂直平分线的性质等几何知识.要注意的是：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.
22.先化简，再求值：( ﹣ )÷ ，其中x= .
【考点】分式的化简求值.
【专题】计算题.
【分析】原式括号中利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值.
【解答】解：原式= • = • = ，
当x= 时，原式= .
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
23.如图所示，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形拼成，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=b，BC=a，请你利用这个图形解决下列问题：
(1)证明勾股定理;
(2)说明a2+b2≥2ab及其等号成立的条件.
【考点】勾股定理的证明.
【分析】(1)根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式.
(2)利用非负数的性质证明即可.
【解答】解：(1)∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为 ab，小正方形面积为：(b﹣a)2，
∴c2=4× ab+(a﹣b)2=2ab+a2﹣2ab+b2
即c2=a2+b2.
(2)∵(a﹣b)2≥0，
∴a2﹣2ab+b2≥0，
∴a2+b2≥2ab，
当且仅当a=b时，等号成立.
【点评】本题考查了对勾股定理的证明和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键.
24.已知直线l1：y=﹣ 与直线l2：y=kx﹣ 交于x轴上的同一个点A，直线l1与y轴交于点B，直线l2与y轴的交点为C.
(1)求k的值，并作出直线l2图象;
(2)若点P是线段AB上的点且△ACP的面积为15，求点P的坐标;
(3)若点M、N分别是x轴上、线段AC上的动点(点M不与点O重合)，是否存在点M、N，使得△ANM≌△AOC?若存在，请求出N点的坐标;若不存在，请说明理由.
【考点】一次函数综合题.
【专题】计算题;综合题;一次函数及其应用.
【分析】(1)对于直线l1，令y=0求出x的值，确定出A坐标，代入直线l2求出k的值，作出直线l2图象即可;
(2)设P(a，b)，△ACP面积=△ABC面积﹣△BPC面积，根据已知三角形ACP面积求出a的值，进而求出b的值，确定出P坐标即可;
(3)如图2，作ND⊥x轴于D，利用勾股定理求出AC的长，由△ANM≌△AOC，得到对应边相等，表示出AM，AN，MN，确定出△AMN为直角三角形，利用面积法求出ND的长，确定出N纵坐标，进而求出横坐标，确定出N坐标即可.
【解答】解：(1)∵直线l1：y=﹣ x+3与x轴交于点A，
∴令y=0时，x=4，即A(4，0)，
将A(4，0)代入直线l2：y=kx﹣ ，得k= ，
直线l2图象如图1所示;
(2)设P(a，b)，
根据题意得：S△ACP=S△ABC﹣S△PBC= ×(3+ )×4﹣ ×(3+ )a=15，
解得：a= ，
将P( ，b)代入直线l1得：b= ×(﹣ )+3=﹣ +3= ，
∴点P的坐标( ， );
(3)如图2，作ND⊥x轴于D，
∵AC= = ，△ANM≌△AOC，
∴AM=AC= ，AN=AO=4，MN=OC= ，∠ANM=∠AOC=90°，
∵S△AMN= AM•ND= AN•MN，
∴ND= = = ，
将N的纵坐标y=﹣ 代入直线l2得：x= ，
∴当N的纵坐标为( ，﹣ )时，△ANM≌△AOC.
【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的性质，勾股定理，三角形面积，以及坐标与图形性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键.
25.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在△ABC的外部作∠ACM，使得∠ACM= ∠ABC，点D是直线BC上的动点，过点D作直线CM的垂线，垂足为E，交直线AC于F.
(1)如图1所示，当点D与点B重合时，延长BA，CM交点N，证明：DF=2EC;
(2)当点D在直线BC上运动时，DF和EC是否始终保持上述数量关系呢?请你在图2中画出点D运动到CB延长线上某一点时的图形，并证明此时DF与EC的数量关系.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】(1)延长BA，CM交点N，先证明BC=BN，得出CN=2CE，再证明△BAF≌△CAN，得出对应边相等BF=CN，即可得出结论;
(2)作∠PDE=22.5，交CE的延长线于P点，交CA的延长线于N，先证明PD=CD，得出PC=2CE，再证明△DNF≌△PNC，得出对应边相等DF=PC，即可得出结论.
【解答】解：(1)如图(1)，延长BA，CM交点N，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠ACM= ∠ABC=22.5°，
∴∠BCM=67.5°，
∴∠BNC=67.5°=∠BCM，
∴BC=BN，
∵BE⊥CE，
∴∠ABE=22.5°，CN=2CE，
∴∠ABE=∠ACM=22.5°，
在△BAF和△CAN中， ，
∴△BAF≌△CAN(ASA)，
∴BF=CN，
∴BF=2CE;
(2)保持上述关系;BF=2CE;
证明如下：
作∠PDE=22.5，交CE的延长线于P点，交CA的延长线于N，
如图(2)所示：
∵DE⊥PC，∠ECD=67.5，
∴∠EDC=22.5°，
∴∠PDE=∠EDC，∠NDC=45°，
∴∠DPC=67.5°，
∴PD=CD，
∴PE=EC，
∴PC=2CE，
∵∠NDC=45°，∠NCD=45°，
∴∠NCD=∠NDC，∠DNC=90°，
∴ND=NC且∠DNC=∠PNC，
在△DNF和△PNC中， ，
∴△DNF≌△PNC(ASA)，
∴DF=PC，
∴DF=2CE.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质;通过作辅助线证明等腰三角形和全等三角形是解决问题的关键.
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