高三年级数学期中试卷考试文科
学习好了数学我们就需要多做题来参考一下，小编今天下面就给大家整理高三数学，希望大家一起学习
数学高三年级期中试卷考试
一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
2.已知 为虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数 等于 ( )
A. B. C. D.
3.方程 的根的个数是 ( )
A. B. C. D.
4.等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ( )
A. B. C. D.
5.已知向量 ， ，若 ，则 ( )
A. B. C. D.
6.将函数 图像上所有点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变)，得到函数 的图像，则函数 的图像的一个对称中心是( )
A. B. C. D.
7.若如图的程序框图输出的 是 ，则①应为 ( )
A. ?
B. ?
C. ?
D. ?
8.已知某几何体的正视图、侧视图和俯视图均为斜边为 的等腰直角三角形，该几何体的顶点都在同一球面上，则此球的表面积为 ( )
A. B. C. D.
9.设 为抛物线 ： 的焦点，曲线 与 交于点 ， 轴，则 ( )
A. B. C. D.
10.设函数 ，若 ，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
11.若函数 的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称 具有 性质，下列函数中有 性质的是 ( )
A. B. C. D.
12.已知函数 ，则函数 满足 ( )
A.最小正周期为 B.图像关于点 对称
C.在区间 上为减函数 D.图像关于直线 对称
二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知实数 满足约束条件 ，则 的最小值是 .
14.设 是等差数列 的前 项和，若 ， ，则公差 .
15.在 中，若 ， ， ，则 .
16.已知函数 是定义在 上的周期为 的奇函数，当 时， ，
则 .
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
(一)必考题：共60分.
17.(12分)
已知正项等比数列 ，其前n项和为 满足： ， ，
(1)求 ;
(2)令 ，数列 的前n项和为 ，求 .
18. (12分)
某中学对高三年级的学生进行体质测试，已知高三、一班共有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如下(单位： )：
男 女
7 16 5 7 8 9 9
9 8 17 1 8 4 5 2 9
3 5 6 18 0 2 7 5 4
1 2 4 19 0 1
1
8
5 20
21
22
男生成绩不低于 的定义为“合格”，成绩低于 的定义为“不合格”;女生成绩不低于 的定义为“合格”，成绩低于 的定义为“不合格”.
(1) 求女生立定跳远成绩的中位数;
(2) 若在男生中按成绩是否合格进行分层抽样，抽取6个人，求抽取成绩“合格”的男生人数;
(3) 若从(2)问所抽取的6人中任选2人，求这2人中恰有1人成绩“合格”的概率.
19. (12分)
已知椭圆C： 的右焦点F2和上顶点B在直线 上，过椭圆右焦点的直线交椭圆于 两点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求 面积的最大值.
20.(12分)
四棱锥 中， 平面 ，底面 为直角梯形， ， ， ，M为PA上一点，且 ，
(1)证明：PC//平面MBD;
(2)若 ，四棱锥 的体积为 ，
求直线AB与平面MBD所成角的正弦值.
21.(12分)
已知函数 的图象与直线 相切，
(1)求b的值;
(2)当 时， 恒成立，求实数a的取值范围.
(二) 选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做则按所做的第一题计分.
22. [选修4-4：坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数);以原点
极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
⑴ 求曲线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程;
⑵ 试判断曲线 与 是否存在两个交点，若存在求出两交点间的距离;若不存在，说明理由.
23. [选修4-5：不等式选讲](10分)
设函数 ， .
⑴ 当 时，求不等式 的解集;
⑵ 对任意 恒有 ，求实数 的取值范围.
C
A
C
A
B
D
B
B
D
B
A
D
答案：
答案：
答案：
.
17.解：(1)设公比为q(q>0)
由已知可得： 解得q=3，q=-1(舍)……………………………
，解得 ， ………………………………………
………………
所以当 时， ;………………
当 时， ………………
综上可知 ……
18.解：(1) 女生立定跳远成绩的中位数 cm.…………………
(2) 男生中成绩“合格”和“不合格”人数比为 ，用分层抽样的方法抽取6个人，
则抽取成绩“合格”人数为4人;…………………
(3)由(2)设成绩“合格”的4人为A，B，C，D，成绩“不合格”的2人为 ,从中选出2人有(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A, )，(A, )，(B,C)，(B,D)，(B, )，(B, )，(C,D)，(C, )，(C, )，(D, )，(D, )，( )，共15种，…………………
其中恰有1人成绩“合格”的有(A, )，(A, )，(B, )，(B, )，(C, )，(C, )，(D, )，(D, )，共8种，故所求事件概率为 .…………………
19.解：(1) 椭圆C： 的右焦点F2和上顶点B在直线 上， 椭圆的右焦点为F2(1，0)，上顶点为B ，…………
故c=1，b= ，a2=b2+c2=4，∴所求椭圆标准方程为 .…………
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线 的方程为
联立 得： ，…………
…………
…………
= ， ，令 ，函数 在 上为增函数，故当 即 时， ，此时三角形 的面积取得最小值为 .…………
20.(1)证明：连结AC交BD于N点，连结MN，则 ∽
又 ， ， ，
， ……………………
(2) 解：不妨设 ，因为PA=AD=3，四棱锥 的体积为 ，所以 ，解得 ;………………
设点 到平面 的距离为 ，利用体积桥， ,在 中， ,利用余弦定理可求得 ,所以 ，所以三角形 的面积 ,………………
代入 中得： ，解得 ，………………
又因为 ,所以直线AB与平面MBD所成角的正弦值为 . ………………
21.解：(1)
， 在 上为增函数，且 …………………
切点的坐标为 ，将 代入 得1+b=2， b=1…………………
(2)由 ， …………
令
………………
，
，显然
………………………………………
22.解：(1) 对于曲线 有 ，对于曲线 有 .…………
(2) 显然曲线 ： 为直线，则其参数方程可写为 ( 为参数)与曲线 ： 联立，可知 ，所以 与 存在两个交点，
由 ， ，得 . …………
23. 解：(1) 当 时， ，
所以 的解集为 或 . …………
(2) ，
由 恒成立，有 ，解得
所以 的取值范围是 . …………
高三年级数学期中上学期考试卷
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
相关公式：
1.独立性检验有关数据：
P(K2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 , ,则 ( )
A. B. C. D.
2.复数 等于( )
A. B. C. D.
3.若非零向量 , 满足 ，则 与 的夹角为( )
A. B. C. D.
4.已知 ，则 的值为( )
A. B. 或 C. D.
5.设 满足 ，则 ( )
A.有最小值 ，无最大值 B.有最小值 ，无最大值
C.有最大值 ，无最小值 D.既无最小值，又无最大值
6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A. B. C. D.12
7.右面的程序框图表示求式子 × × × × ×
的值, 则判断框内可以填的条件为( )
A. B. C. D.
8. 若函数 同时满足下列三个性质:
①最小正周期为 ;
②图像关于直线 对称;
③在区间 上是增函数，则 的解析式可以是( )
A. B.
C. D.
9.已知等比数列 满足 ，且 ，则当 时，
( )
A. B. C. D.
10.若直线 与圆 相切，且 为锐角，则该直线的斜率是( )
A. B. C. D.
11.若 是双曲线 和圆 的一个交点，且, ，其中 是双曲线 的两个焦点，则双曲线 的离心率为( )
A. B. C. D.
12.定义域为 的函数 ，若关于 的方程 ,
恰有5个不同的实数解 等于( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.已知 ，则数列 的通项公式为 .
14. 已知函数 的定义域为 ，若其值域也为 ，则称区间 为 的保值区间.
若 的保值区间是 ，则 的值为 .
15. 已知三棱锥 的三条侧棱 两两互相垂直，且 ,
则该三棱锥的外接球的体积为 .
16.有如下四个命题：
①甲乙两组数据分别为甲：28,31,39,42,45,55,57,58,66;乙：29,34,35,48,42,46,55,53,55,67
则甲乙的中位数分别为45和44.
②相关系数 ，表明两个变量的相关性较弱.
③若由一个2 2列联表中的数据计算得 的观测值 ,那么有95%的把握认为两个变量有关.
④用最小二乘法求出一组数据 的回归直线方程 后要进行残差分析，相应于数据 的残差是指 .
以上命题“错误”的序号是 .
三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分12分)
在 中，角 所对应的边分别为 ，且满足 = , .
(1)求 的面积;
(2)若 ,求 的值.
18.(本小题满分12分)
某校高三文科 名学生参加了 月份的高考模拟考试，学校为了了解高三文科学生的历史、
地理学习情况，从 名学生中抽取 名学生的成绩进行统计分析，抽出的 名学生的地理、历史成绩如下表：
历史 地理 [80,100] [60,80) [40,60)
[80,100] 8 m 9
[60,80) 9 n 9
[40,60) 8 15 7
若历史成绩在[80,100]区间的占30%，
(1)求 的值;
(2)请根据上面抽出的 名学生地理、历史成绩，填写下面地理、历史成绩的频数分布表：
[80,100] [60,80) [40,60)
地理
历史
根据频数分布表中的数据估计历史和地理的平均成绩及方差(同一组数据用该组区间的中点值作代表)，并估计哪个学科成绩更稳定.
19. (本小题满分12分)
如图，直三棱柱 中， ， 分别是 ， 的中点.
(1)证明： 平面 ;
(2)设 ， ，求三棱锥 的体积.
20. (本题满分12分)
设 、 分别是椭圆 的左、右焦点.
(1)若 是该椭圆上的一个动点，求 的最大值与最小值.
(2)是否存在过点 的直线 与椭圆交于不同的两点 ，使得 ?若存在，
求直线 的方程;若不存在，请说明理由.
21. (本小题满分12分)
设函数 ，已知曲线 在点
处的切线与直线 垂直.
(1)求 的值;
(2)求函数 的极值点.
请考生在题22,23中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分.做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，以 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 过点 ，倾斜角为 .
(1)写出直线 的参数方程，及当 时，直线 的极坐标方程 .
(2)已知从极点 作直线 与直线 相交于点 ，在 上取一点 ，使 ，求点 的极坐标方程.
23(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数
(1)当 时，求不等式 的解集;
(2)若 |的解集包含 ，求 的取值范围.
高三文科数学答案
答案1-5CACAB 6-10CBADA 11-12DC
13. 14. ①② 15. 16.
17.(1)因为 ， ，又由 ，得 ，
(2)对于 ，又 ， 或 ，由余弦定理得 ，
18. 解：(1)∵由历史成绩在[80,100]区间的占30%，∴ ，得 ，
∴ . 3分
可得
[80,100] [60,80) [40,60)
地理 25 50 25
历史 30 40 30
从以上计算数据来看，地理学科的成绩更稳定。………………………………12分
19.(1)略 (2)
20. 解：(Ⅰ)易知
设P(x，y)，则
，
，即点P为椭圆短轴端点时， 有最小值3;
当 ，即点P为椭圆长轴端点时， 有最大值4
(Ⅱ)假设存在满足条件的直线l易知点A(5，0)在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k
直线l的方程为
由方程组
依题意
当 时，设交点C ，CD的中点为R ，
则
又|F2C|=|F2D|
∴20k2=20k2-4，而20k2=20k2-4不成立， 所以不存在直线 ，使得|F2C|=|F2D|
综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|
21.【 解析】(1) ，所以 ，所以 .
(2) ，其定义域为 ，
，
令 ， ，
①当 时， ，有 ，即 ，所以 在区间 上单调递减，故 在区间 无极值点.
②当 时， ，令 ，有 ， ，
当 时， ，即 ，得 在 上递减;
当 时， ，即 ，得 在 上递增;
当 时， ，即 ，得 在 上递减，
此时 有一个极小值点 和一个极大值点 .
③当 时， ，令 ，有 ，
当 时， ，即 ，得 在 上递增;
当 时， ，即 ，得 在 上递减，
此时 有唯一的极大值点 .
综上可知，当 时，函数 有一个极小值点 和一个极大值点 ;
当 时，函数 在 无极值点;
当 时，函数 有唯一的极大值点 ，无极小值点.
22.(1) ( 为参数) ( 为参数) 的极坐标方程为
设点 ， ， ， ， ， ，即点 的轨迹方程为 。
23.答案(1) ; (2)
高三年级数学期末试卷文科
参考公式：
三角函数的和差化积公式
正棱台、圆台的侧面积公式
其中c’、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长台体的体积公式
其中S’、S分别表示上、下底面面积，h表示高
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为正确的选项前的字母填在题后的括号内。
(1)设集合 ，若 ，则a的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
(2)已知二面角 ，直线 ， ，且a与l不垂直，b与l不垂直，那么( )
(A)a与b可能垂直，但不可能平行 (B)a与b可能垂直，也可能平行
(C)a与b不可能垂直，但可能平行 (D)a与b不可能垂直，也不可能平行
(3)函数 在一个周期内的图象如图所示，函数 解析式为( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(4)若椭圆 ，双曲线 有相同的焦点 ， ，P是两曲线的交点，则 的值是( )
(A) (B) (C)a-m (D)b-n
(5)如图，O为直二面角 的棱MN上的一点，射线OE，OF分别在 内，且∠EON=∠FON=45°，则∠EOF的大小为( )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°
(6)在等差数列 中， ，公差d<0，前n项和是 ，则有( )
(A) (B)
(C) (D)
(7)8种不同的商品，选出5种放入5个不同的柜台中，如果甲、乙两种商品不能放入第5号柜台中，那么不同的放法共有( )
(A)3360种 (B)5040种 (C)5880种 (D)2160种
(8)下列四个命题：
①满足 的复数只有 ;
②若a，b是两个相等的实数，则 是纯虚数;
③复 的充要条件是 ;
④复平面内x轴即实轴，y轴即虚轴。
其中正确的有( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
(9)在 中， ，则角C等于( )
(A) (B)
(C) (D)
(10)过抛物线 的焦点作直线与此抛物线交于P，Q两点，那么线段PQ中点的轨迹方程是( )
(A) (B)
(C) (D)
第Ⅱ卷(非选择题共100分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
(11)已知 ，则 =________________。
(12)在一个棱长为 的正四面体内有一点P，它到三个面的距离分别是1cm，2cm，3cm，则它到第四个面的距离为_______________cm。
(13)设等比数列 的前n项和为 ，前n+1项的和为 ，则 =___________________。
(14)抛物线 和圆 上最近两点的距离是_________________。
三、解答题：本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
(15)(本小题满分14分)解关于x的不等式 ，(a>0且a≠1)。
(16)(本小题满分14分)
已知：定义在R上的函数 为奇函数，且在 上是增函数。
(Ⅰ)求证： 在 上也是增函数;
(Ⅱ)对任意 ，求实数m，使不等式 恒成立。
(17)(本小题满分14分)
在长方体ABCD— 中，AB=2， ，E为 的中点，连结ED，EC，EB和DB。
(Ⅰ)求证：平面EDB⊥平面EBC;
(Ⅱ)求二面角E-DB-C的正切值;
(Ⅲ)求异面直线EB和DC的距离。
(18)(本小题满分14分)
某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池(平面图如图所示)，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚度忽略不计)。
(Ⅰ)设污水处理池的长为x米时，写出总造价f(x)的解析式;
(Ⅱ)污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低。
(19)(本小题满分14分)
已知椭圆c： ，将椭圆c平移，中心移到点(1，2)，成为椭圆c’。
(Ⅰ)求椭圆c’的方程;
(Ⅱ)椭圆c’上存在关于直线 对称的不同的两点，求出m的范围。
(20)(本小题满分14分)
已知函数 ，满足条件：
① ;② ;③ ;
④当x>y时，有 。
(Ⅰ)求f(1)，f(3)的值;
(Ⅱ)由f(1)，f(2)，f(3)的值，猜想f(n)的解析式;
(Ⅲ)证明你猜想的f(n)的解析式的正确性。
高三期末试卷
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B B D C C A B A C D
二、填空题
11. 12.4 13. 14.
三、解答题
15.解：当a>1时，原不等式等价于 。……………………2分
…………………………………………………………4分
解得 。………………………………………………………………6分
∴原不等式的解集为 。……………………………………8分
当0
或 ……………………………………12分
解得 或x>2。
∴原不等式的解集为 。…………………………………………14分
16.(Ⅰ)证明：设 ，且 ，则 ，且 。
…………………………2分
∵ 在 上是增函数，
∴ …………………………………………………………4分
又 为奇函数，∴ ……………………………………6分
∴ 。
∴ 在 上也是增函数。…………………………………………8分
(Ⅱ)∵函数 在 和 上是增函数，且 在R上是奇函数
∵ 在 上是增函数。…………………………………………10分
∵ ，
∴ 。
，
，………………………………………………12分
，
。
∵当 时， 的最大值为 ，
∴当 时，不等式恒成立。…………………………………………14分
17.(Ⅰ)证明：在长方体ABCD- 中，AB=2， ，E为 的中点。
∴ 为等腰直角三角形， 。
同理 。
∴ ，即DE⊥EC。……………………………………………2分
在长方体ABCD- 中，BC⊥平面 ，又DE 平面 ，
∴BC⊥DE。……………………………………………………………………4分
又 ，
∴DE⊥平面EBC。
∵平面DEB过DE，
∵平面DEB⊥平面EBC。……………………………………………………5分
(Ⅱ)解：如图，过E胡平面 中作EO⊥DC于O。
在长方体ABCD- 中，
∵面ABCD⊥面 ，
∴EO⊥面ABCD。
过O在平面DBC中作OF⊥DB于F，连结EF
∴EF⊥BD。
∠EFO为二面角E-DB-C的平面角。………………………………7分
利用平几知识可得
。…………………………10分
(Ⅲ)解：E在 上，B在AB上，在长方体ABCD- 中， ，
∴EB在平面 内。
又∵DC//AB
∴DC//平面 。
直线DC到平面 的距离就等于异面直线DC和EB的距离。………………12分
在长方体ABCD- 中，平面 ⊥平面 ，连结 ，在平面 中，过C作 。
CH⊥平面 ，CH为所求的距离。
∴ 。…………………………………………………………14分
18.(Ⅰ)解：设污水处理池的长为x米，则宽为 米。………………………2分
总造价 。…………………4分
(Ⅱ)
=36000(元)………………………………………………………………10分
当且仅当 时，即x=15等号成立。…………………………………12分
答：当污水处理池的长为15米(宽为 米)时，总造价最低。………………14分
19.(Ⅰ)解：椭圆c’的方程为 。…………………………4分
(Ⅱ)解：设 为椭圆c’上关于直线l对称的不同的两点，AB的中点为 ，则有
……………………………………8分
(2)-(1)得 (5) ………………………10分
(3)代入(5)得 (6)。
由(4)与(6)得： 。…………………………………12分
∵M在c’内
∴ 。
解得 。…………………………………………………………………14分
20.(Ⅰ)解：∵ ，又 ，
∴ 。…………………………………………………………………………2分
又∵ ，…………………………………………4分
，且 。
∴ 。…………………………………………………………………………5分
(Ⅱ)解：由 猜想 。…………8分
(Ⅲ)用数学归纳法证明：
(1)当n=1时，f(1)=1，函数解析式成立;
(2)假设 时， ，函数解析式成立;
①若 ，
。………………10分
②若 ，
，
。
∴ 。……………………………………12分
即 时，函数解析式成立。
综合(1)(2)可知， 成立。……………………14分
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