高一数学下期末考试题带答案
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高一数学下期末考试题带答案
一、选择题(每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把符合要求的选项选出来。)
1、二进制数 化为十进制数为( )
A. B. C. D.
2、现从编号为 的 台机器中，用系统抽样法抽取 台，测试其性能，则抽出的编号可能为( )
A. ， ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
3、不等式 的解集是( )
A. B.
C. D.
4、在 中， ，那么 等于( )
A. B. C. D.
5、执行如图1所示的程序框图,若输入 的值为3,则输出 的值是( )
A.1 B.2 C.4 D.7
6、在区间 上随机地取一个数 ,则事件“ ”发生的概率为( )
A. B. C. D.
7、下列说法正确的是 ( )
A.已知购买一张彩票中奖的概率为 ，则购买 张这种彩票一定能中奖;
B.互斥事件一定是对立事件;
C.如图，直线 是变量 和 的线性回归方程，则变量 和 相关系数在 到 之间;
D.若样本 的方差是 ，则 的方差是 。
8、某超市连锁店统计了城市甲、乙的各 台自动售货机在中午 至 间的销售金额，并用茎叶图表示如图.则有( )
A.甲城销售额多，乙城不够稳定 B.甲城销售额多，乙城稳定
C.乙城销售额多，甲城稳定 D.乙城销售额多，甲城不够稳定
9、等差数列{an}的前n项和为Sn，若 ， ，则 ( )
A. 12 B.18 C. 24 D.42
10、设变量 满足 则目标函数 的最小值为( )
A. B. 2 C. 4 D.
11、若函数 在 处取最小值，则 ( ).
A. B. C. D.
12、在数列 中， ， ，则 =( )
A. B. C. D.
高 一 数 学
卷Ⅱ(解答题，共70分)
题号 二 三 Ⅱ卷
总分
13-16 17 18 19 20 21 22
得分
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。)
13、已知数列 中， ， ( )，则数列 的前9项和等于 .
14、若函数 的定义域为R，则实数 的取值范围是________.
15、读右侧程序，此程序表示的函数为
16、若对任意 ， 恒成立，则 的取值范围是 .
三、解答题(本题有6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)
17、(本题满分10分)如图，为测量山高 ，选择 和另一座山的山顶 为测量观测点.从 点测得 点的仰角 ， 点的仰角 以及 ;从 点测得 .已知山高 ，则山高 是多少米?
18、(本题满分12分)为了解某单位员工的月工资水平，从该单位500位员工中随机抽取了50位进行调查，得到如下频数分布表和频率分布直方图：
月工资
(单位：百元) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75)
男员工数 1 8 10 6 4 4
女员工数 4 2 5 4 1 1
(1) 试由上图估计该单位员工月平均工资;
(2)现用分层抽样的方法从月工资在 和 的两组所调查的男员工中随机选取5人，问各应抽取多少人?
(3)若从月工资在 和 两组所调查的女员工中随机选取2人，试求这2人月工资差不超过1000元的概率.
19、(本题满分12分)等比数列 的各项均为正数，且 ， .
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)设 ，求数列 的前 项和.
20、(本题满分12分)“奶茶妹妹”对某时间段的奶茶销售量及其价格进行调查，统计出售价 元和销售量 杯之间的一组数据如下表所示：
价格
5 5.5 6.5 7
销售量
12 10 6 4
通过分析，发现销售量 对奶茶的价格 具有线性相关关系.
(Ⅰ)求销售量 对奶茶的价格 的回归直线方程;
(Ⅱ)欲使销售量为 杯，则价格应定为多少?
附：线性回归方程为 ，其中 ，
21、(本题满分12分) 的三个角 的对边分别为 满足 .
(1)求 的值;
(2)若 ，求 面积的最大值.
22、(本题满分12分)在数列 中，
(I)求证数列 是等比数列;
(II)设 ，求数列 的前 项和 .
试题答案
一、选择题 ADBCC ACDCB CA
二、填空题 13、27; 14、
15、 16、
三、解答题
17、(本题满分10分)
解：根据题图，AC=1002 m.
在△MAC中，∠CMA=180°-75°-60°=45°.
由正弦定理得ACsin 45°=AMsin 60°⇒AM=1003 m.
…………6分
在△AMN中，MNAM=sin 60°，
∴MN=1003×32=150(m).…………10分
18、(本题满分12分)
(1)
即该单位员工月平均工资估计为4300元.…………………………………………4分
(2)分别抽取3人，2人 …………………………………6分
(3)由上表可知：月工资在 组的有两名女工，分别记作甲和乙;月工资在 组的有四名女工，分别记作A,B,C,D.现在从这6人中随机选取2人的基本事件有如下15组：
(甲，乙)，(甲，A)，(甲，B)，(甲，C)，(甲，D)，
(乙，A)，(乙，B)，(乙，C)，(乙，D)，
(A，B)，(A，C)，(A，D)，
(B，C)，(B，D)，
(C，D)
其中月工资差不超过1000元，即为同一组的有(甲，乙)，(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)共7组，
∴所求概率为 ……………………………………………………………………12分
19、(本题满分12分)
(1)设数列{an}的公比为q.由a23=9a2a6得a23=9a24，所以q2=19.
由条件可知q>0，故q=13.
由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，得a1=13.
故数列{an}的通项公式为an=13n. …………6分
(2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an
=-(1+2+…+n)=-nn+12.
故1bn=-2nn+1=-2(1n-1n+1)，
1b1+1b2+…+1bn=-2[(1-12)+(12-13)+…+(1n-1n+1)]=-2nn+1.
所以数列{1bn}的前n项和为-2nn+1. …………12分
20、(本题满分12分)
解:(1)(Ⅰ) = =6， = =8. …………2分
=5×12+5.5×10+6.5×6+7×4=182， …………3分
=52+5.52+6.52+72=146.5， …………4分
= =﹣4， =8+4×6=32. …………6分
∴销售量y对奶茶的价格x的回归直线方程为 =﹣4x+32. …………8分
(Ⅱ)令﹣4x+32=13，解得x=4.75.
答：商品的价格定为4.75元. …………12分
21、(本题满分12分)
解：(1)由余弦定理得：
2bcos A=c•b2+c2-a22bc+a•a2+b2-c22ab=b，
∴cos A=12，由0
(2)∵a=2，由余弦定理得：
4=b2+c2-2bccos π3=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc.
∴bc≤4，当且仅当b=c时取等号，
∴S△ABC=12bcsin A=12bc•32≤34•4=3.
即当b=c=a=2时，△ABC面积的最大值为3. …………12分
22、(本题满分12分)
解：(I)由 得 ，
所以 是公比为2的等比数列。 …………4分
(II)由(I)知，数列 的首项为 ，公比为2，
， …………6分
所以
两式相减，得
所以 …………12分
高一数学下期末联考试题阅读
第I卷 选择题(共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 从学号为0～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试,采用系统抽样的方法,则所选5名学生的学号可能是( )
A. 1, 2, 3, 4, 5 B. 2, 4, 6, 8, 10 C. 4, 14, 24, 34, 44 D. 5, 16, 27, 38, 49
2.228与1995的最大公约数是( )
A.57 B.59 C.63 D.67
3.已知 为角 的终边上的一点 ，且 ，则 的值为
A. B. C. D.
4.我校高中生 共有2700人，其中高一年级900人 ，高二年级1200人，高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为135的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为( )
A.45，75，15 B.45，45，45 C.30，90，15 D.45 ，60，30
5.将二进制数 转化为十进制数，结果为( )
A.51 B.52 C.53 D.54
6.抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的数是奇数”，事件B为“落地时向上的数是偶数”，事件C 为“落地时向上的数是2的倍数”，事件D为“落地时向上的数是4的倍数”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是( )
A. A与B B. B与C C.A与 D D.B与D
7.函数 的部分图象如图 所示，若 ，且 ，则 ( )
A. B. C. D.
8. 已知程序框图如右图，如果输入三个实数a、b、c，
要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，
应该填入 ( ).
A. B. C. D.
9.一组数据中的每个数据都减去80，得一组新数据，若求
得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数
和方差分别是 ( )
A. 81.2, 84.4 B. 78.8 , 4.4
C. 81.2, 4.4 D. 78.8, 75.6
10.已知关于 的一元二次方程 ，若 是
从区间任取一个数， 是从区间任取的一个数，
则上述方程有实根的概率为( )
A. B. C. D.
11.有两个质地均匀、大小相同的正四面 体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字1，2，3，4.把两个玩具各抛掷一次，向下的面的数字之和能被5整除的概率为 ( )
A.116 B.14 C.38 D.12
12.在直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P为AB边上的点且 ，若 ，则λ的取值范围是( )
A.[ ，1] B.[ ， 1 ] C.[ ， ] D.[ ， ]
第II卷 非选择题(共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.
13.在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数
的和是______________
14.已知 ，其中 为第三象限角，
则 ______.
15.用秦九韶算法计算多项式 在 时的值时, 的值为 _________________.
16.给出下列命题：① 存在实数 ，使 ;②若 是第一象限角，且 ，则 ;③函数 是奇函数;④函数 的周期是 ;⑤函数 的图象与函数 ( )的图像所有交点的横坐标之和等于6.
其中正确命题的序号是 (把正确命题的序号都填上)
三、解答题(本小题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
已知 是方程 的两根，且 .
(1)求 的值; (2)求 的值.
18.(本小题满分12分)
已知函数 的最大值是 ，其图象经过点 .
(1)求 的解析式;
(2)已 知 ， ，且 ， ，求 的值.
19. (本小题满分12分)
某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六组后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
(Ⅰ)求成绩落在的学生中任选两人，求他们在同一分数段的概率.
20.(本小题满分12分)
某种产品在五个年度的广告费用支 出 万元与销售额 万元的统计数据如下表：
2 4 5 6 8
20 35 50 55 80
(I)根据上表提供的数据，求出 关于 的线性回归方程;
(II)据此模型估计某年度产品的销售额欲达到108万元，那么本年度收入的广告费约为多少万元?(回归方程为 其中： )
21.(本小题满分12分)
某校高一(1)班有男同学45名，女同学15名，老师按照分层抽样的方法抽取4人组建了一个课外兴趣小组.
(I)求课外兴趣小组中男、女同学的人数;
(II)经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是从小组里选出一名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选出一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率;
(III)在(II)的条件下，第一次做实验的同学A得到的实验数据为38,40,41,42,44，第 二次做实验的同学B得到的实验数据为39,40,40,42,44，请问哪位同学的实验更稳定?并说明理由.
22.(本小题满分12分)
如图，已知OPQ是半径为 ，圆心角为 的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.记 ，求当角 取何值时 ，矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大面积.
参考答案
一. 选择题
1. C 2. A 3. B 4. D 5. A 6. C 7. D 8. D 9. C 10. A 11. B 12. B
二.填空题 13. 64 14. 15. 16. ⑤
三、解答题 17.答案：( 1). 是方程 的两根，
.
……………5分
(2). ， ，且 ， ………………………10分
18. 解：(1)依题意有 …………………………1分
则 ，将点 代入得 ，………3分
而 ， ， ，
故 ……………………………………………6分
(2)依题意有 ，而 ，…………………8分
，…………………10分
…………12分
19. 解(Ⅰ)成绩落在的学生中任选两人，他们的成绩在同一分数段”， 表示“所选两人成绩落在内”，则 和 是互斥事件，且
, 从而 ,
因为 中的基本事件个数为15， 中的基本事件个数为3，全部基本事件总 数为36，
所以 所求的概率为 ……………………………12分
20解：(Ⅰ) ……………………………………………2分
，……………………………………6分 ，
故 关于 的线性 回归方程为： ……8分
(Ⅱ)当 时，代入回归直线方程得 ，
故本年度投入的广告费用约为11万元.……………………………12分
21.解：(Ⅰ)设课外兴趣小组中有 名男同学，
则 解得 =3，
所以男同学的人数为3、女同学的人数分别为1. ……………3分
(Ⅱ)把三名男同学和一名女同学分别记为 则选取两名同学先后做实验的基本事件有：
共12种， …………………5分
其中有一名女同学的情况有6种， …………………6分
所以选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为 …………8分
(Ⅲ)由题知， ……9分
，
……………11分
故同学B的实验更稳定. …………………………12分
22解：如图，在 中，OB=cosα，BC=sinα，
在Rt△OAD中， =tan60°= ，所以OA= DA= BC= sinα.
所以AB=OB﹣OA=cosα- sinα.………………4分
设矩形ABCD的面积为S，则
S=AB•B C=(cosα- sinα)sinα
=sinαcosα - sin2α
= sin2α+ cos2α﹣
= ( sin2α+ cos2α)﹣
= sin(2α+ )- .……………………… ………8分
由于0<α< ，所以当2α+ = ，
即 α= 时， = ﹣ = .
因此，当α= 时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为 .………………12分
有关于高一数学下期末试题
一.选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.)
1. 已知 且 ，下列不等式中成立的一个是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由不等式的性质结合题意：
∵c
∴−c>−d，且a>b，
相加可得a−c>b−d，
故选：B
2. 已知向量 ，向量 ，且 ，那么 等于( )
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
【答案】C
【解析】由向量平行的充要条件有： ，解得： .
本题选择C选项.
3. 在 中， ，则A为( )
A. 或 B. C. 或 D.
【答案】A
【解析】由正弦定理： 可得： ，
则A为 或 .
本题选择A选项.
点睛：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的;已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.
4. 下列结论正确的是( )
A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥;
B. 一平面截一棱锥得到一个棱锥和一个棱台;
C. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥;
D. 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
【答案】D...
【解析】A、如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，故A错误;
B、一平行于底面的平面截一棱锥才能得到一个棱锥和一个棱台，因此B错误;
C、若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由过中心和定点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故C错误;
D、根据圆锥母线的定义知，D正确.
本题选择D选项.
5. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知，该几何体是在棱长分别为 的长方体中的三棱锥 ，
且： ，该四面体的体积为 .
本题选择A选项.
点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法.正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同.
6. 已知 ，则 的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得：
据此有： .
本题选择B选项.
7. 设 是公比为正数的等比数列， ，则 ( )
A. 2 B. -2 C. 8 D. -8
【答案】C
【解析】由题意有： ，即： ，
公比为负数，则 .
本题选择A选项.
8. 的内角 的对边分别为 ，已知 ，则 ( )
A. B. C. 2 D. 3...
【答案】D
【解析】由余弦定理： ，即： ，
整理可得： ,三角形的边长为正数，则： .
本题选择D选项.
9. 不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|−1
∴−1,2是一元二次方程ax2+bx+2=0的两个实数根，且a<0，
∴ ，解得a=−1，b=1.
则不等式2x2+bx+a<0化为2x2+x−1<0，
解得−1
∴不等式2x2+bx+a<0的解集为 .
本题选择B选项.
点睛：解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集.
10. 已知各项均为正数的等差数列 的前20项和为100，那么 的最大值是( )
A. 50 B. 25 C. 100 D. 2
【答案】B
结合题意和均值不等式的结论有： ，
当且仅当 时等号成立.
本题选择B选项.
11. 对于任意实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】当m=0时,mx2−mx−1=−1<0，不等式成立;
设y=mx2−mx−1，当m≠0时函数y为二次函数，y要恒小于0，抛物线开口向下且与x轴没有交点，即要m<0且△<0
得到： 解得−4
综上得到−4
本题选择A选项....
点睛：不等式ax2+bx+c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a=0时，b=0，c>0;当a≠0时， 不等式ax2+bx+c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a=0时，b=0，c<0;当a≠0时，
12. 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类.如下图中实心点的个数 为梯形数.根据图形的构成，记此数列的第 项为 ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】观察梯形数的前几项，得
5=2+3=a1，
9=2+3+4=a2，
14=2+3+4+5=a3，
…
，
由此可得a2013=2+3+4+5+…+2011= ×2014×2017，
∴a2013−5= ×2014×2017−5=1007×2017−5=2019×1006，
本题选择D选项.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共计20分，将答案填在答题纸上)
13. 不等式 的解集是____________________。
【答案】
【解析】不等式即： ，则： ，
转化为二次不等式： ，
据此可得不等式的解集为： .
点睛：解不等式的基本思路是等价转化，分式不等式整式化，使要求解的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等式，进而获得解决.
14. 已知函数 在 处取最小值，则 ________________。
【答案】3
考点：均值不等式求最值
15. 在等比数列中，已知 ，求 =__________________。
【答案】 或
【解析】当 时满足题意，
否则： ，解得： ，
综上可得： 或 ....
16. 已知 ，则 __________________。
【答案】-13
【解析】由题意可得： .
三、解答题(本大题共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. 已知平面向量 的夹角为 ，且 。
(Ⅰ)求
(Ⅱ)求
【答案】(1)12(2)
【解析】试题分析：
首先求得 的值：
(1) 利用平面向量数量积的运算法则可得： = ;
(2)首先求得 的值，然后利用平面向量模的求解公式可得 .
试题解析：
解：
(Ⅰ) =
(2)
18. 已知函数 的最大值为2。
(1)求 的值及 的最小正周期;
(Ⅱ)求 的单调递增区间。
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：
(1)整理函数的解析式，由函数的最大值可得 ，函数的最小正周期为 ;
(2)结合(1)中的结论可得函数 的单调增区间为
试题解析：
解：(Ⅰ)
当 =1时，
的最小正周期为 。 ...
(Ⅱ)由(1)得
得
的单调增区间为
19. 在 中， 的对边分别是 ，且 成等差数列。 的面积为 。
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)若 ，求 的值。
【答案】(1)2(2) 或
【解析】试题分析：(1)首先根据A、B、C成等差数列求出角B，再根据安三角形面积公式 ，求出ac;
(2)根据余弦定理 ，求出 ，在根据(1)中的ac=2，即可求出a，c.
试题解析：解：(1).∵A、B、C成等差数列
∴2B=A+C
2分
∵
∴ac=2 4分
(2). ， ，
6分
即a=2 或 8分
考点：1. 正弦定理在三角形面积中的应用;2.余弦定理.
20. 已知 是等差数列， 是等比数列，且 ， ， ， 。
(Ⅰ)求 的通项公式;
(Ⅱ)设 ，求数列 的前 项和 。
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：(Ⅰ)由已知条件求得等比数列的首项和公比，从而得到 的首项和公差，从而得到其通项公式;(Ⅱ)首先求得数列 的通项公式，结合其特点采用分组求和法求解
试题解析：(Ⅰ)等比数列 的公比 ,
所以 ，
设等差数列 的公差为 ，因为 ， ,
所以 ，即 ，
因此 ...
(II)由(I)知， ， .
因此 .
从而数列 的前 项和
.
考点：等差数列等比数列通项公式;数列分组求和
21. 一个面积为 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需要维修),其它三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留下一个宽度为 的出口,如图所示,已知旧墙的维修费为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为 (单位:m),修此矩形场地围墙的总费用为 (单位:元).
(Ⅰ)将 表示为 的函数;
(Ⅱ)试确定 ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。
【答案】(1) (2)当 m时,总费用最小,最小总费用为10440元.
【解析】试题分析：(1)设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得 ，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式;(2)根据(1)中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值
试题解析：(1)如图，设矩形的另一边长为a m
则 45x+180(x-2)+180•2a=225x+360a-360
由已知xa=360,得a= ,
所以y=225x+
(2)
.当且仅当225x= 时，等号成立.
即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.
考点：函数模型的选择与应用
22. 已知点 是函数 图像上一点，等比数列 的前 项和为 。数列 的首项为2 ，前 项和满足 ( )。
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)若数列 的前 项和为 ，问使 的最小正整数 是多少?
【答案】(1) (2)59
【解析】试题分析：
(1)利用题意求得数列的首项和公比均为 ，则数列 的通项公式是 ;
(2)裂项求得数列的前n项和为 ，求解关于n的不等式可得最小正整数为59
试题解析：
(Ⅰ)解： ，
，则等比数列 的前 项和为 ...
， ，
由 为等比数列，得公比
，则 ，
(Ⅱ)：由 ,得
时， ,则 是首项为1，公差为1的等差数列。
， ( )
则 ( )
当 时， 满足上式
，
由 ，得 ，则最小正整数为59
点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的.
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